1 – Fonksiyonlar Konu Özeti——————————————————————————–
TANIM: A ve B gibi boş olmayan iki küme için, A nın her elemanını B’nin bir ve yalnız bir elemanı ile eşleyen A’dan B’ye bir f bağıntısına A ‘dan B’ye FONKSİYON denir.
Kısaca, A’dan B’ye bir bağıntının fonksiyon olması için,
a) x A için (x, y) f olacak biçimde y B olmalı.
b) A kümesinin bir elemanı B kümesinin birden fazla elemanı ile eşlenemez.
A kümesinin f fonksiyonunun TANIM KÜMESİ ve B kümesine f fonksiyonunun DEĞER KÜMESİ denir.
f fonksiyonu x A’yı y B’ye eşliyorsa y’ye x’in görüntüsü denir ve f: x y veya y = f (x) biçiminde gösterilir.
TERS FONKSİYON:
f: A B ye, f: x y = f (x) fonksiyonu birebir ve örten fonksiyon olsun. B A ya ve y x fonksiyonuna f in tersi denir ve f-1 şeklinde gösterilir.
f: A B f-1 : B A
f: x y = f (x) f-1 : y x = f-1(y)
ÖRNEKLER:
1. f: R R, f (x) = x + 5 ise f-1(x) nedir?
Çözüm:
2. R+ R ye f (x) = x2 + 2 fonksiyonunun tersini bulunuz (x > 0)
Çözüm:
BİLEŞKE FONKSİYON:
f: A B ve g: B C birer fonksiyon ise A’daki her elemanı f ve g fonksiyonları ile C’nin elemanlarına dönüştüren fonksiyon f ile g’nin bileşkesi denir.
ÖZELLİKLERİ:
1) fog gof
2) (fog)oh = fo(goh
3) fof-1 = f-1 of = I ( I birim fonksiyon)
4) foI = Iof = f
5) (f-1)-1 = f
6) (fog)-1 = g-1of-1
7) (fogoh)-1 = h-1 o g-1 o f-1
fog = h f = hog-1 ve g = f-1 o h
ÖRNEKLER:
1. R R’ye iki fonksiyon, f (x) = 2x – 1 ve g (x) = x + 1 ise (gof)( – 1) nedir?
Çözüm:
(gof)(- 1) = g(f(- 1)) = g(2.(- 1) – 1 )
= g(- 3) = – 3 + 1 = – 2
2. f ve g : R R’ye
f (x) = 3x + 2 ve g(x) = ise, (fog)(x) ve (gof)(x) fonksiyonlarını bulun.
Çözüm:
3. f ve g : R R’ye
f (x) = 2x + 1 ve (gof) (x) = 3x + 2 ise, g(x) nedir?
Çözüm:
(gof of-1)(x) = (3x + 2) of-1
g (x) = (3x + 2) of-1
f (x) = 2x + 1 f-1 (x) = dir.
4. f ve g : R R’ye f (x) = ve (fog)(x) = 6x + 1 ise g(x) = ?
Çözüm:
(f-1o fog)(x) = f-1 o (6x + 1)
g (x) = f-1 o(6x + 1)
f (x) =
g (x) = (3x + 1) o (6x + 1)
g (x) = 3. (6x + 1) + 1 = 18x + 4
5. f ve g : R R’ye
(gof-1) (x) = ve g-1 (x) = 3x – 1 ise f (x) nedir?
Çözüm:
(g-1ogof)(x) = g-1 o
2 – İntegral Konu Özeti——————————————————————————–
TANIM:
f: [a,b] R ve F:[a, b] R ye tanımlı iki fonksiyon olsun, [a,b] için, F’(x) = f(x) yazılabilirse F(x)’e f(x)’in ilkel fonksiyonu yada integrali denir.
F’(x) dx = F(x) veya
f(x) dx = F(x) şeklinde gösterilir.
ÖRNEK:
f (x) = 2×2 f’(x) = 4x 4xdx = 2×2
f (x) = 2×2 – 1 f’(x) = 4x 4xdx = 2×2 – 1
f (x) = 2×2 + 3 f’(x) = 4x 4xdx =2×2 + 3
BELİRSİZ İNTEGRAL ÖZELLİKLERİ:
A. f’(x) dx = f(x) + C
B. d[f (x)] = f (x) + C
C. f (x)dx = f (x) dx ( R)
D. [f (x) g(x)] dx= f(x) dx g (x)dx
E. [ f (x) dx] = f (x)
F. d[ f (x)dx] = f(x) dx
ÖRNEKLER:
1. 2x dx = x2 + C
2. d(3×2) = 3×2 + C
3. 5×4dx = 5 x4dx
4. (x3 + x)dx = x3 dx + x dx
5. [ 2x dx] = 2x
6. d (x3dx) = x3dx
ÖRNEKLER:
1.
2. 12dx = 12x + C
3.
4. (x3 + x2 – 2)2 (3×2 + 2x)dx = ?
ÇÖZÜM 4:
x3 + x2 – 2 = u (3×2 + 2x) dx = du
3 – Limit Konu Özeti
——————————————————————————–
BİR FONKSİYONUN LİMİTİ
TANIM
A R ve f: A – {xo} R ‘ye bir fonksiyon F(x) olsun. x değişkeni xo R sayısına yaklaştığında f(x) fonksiyonu da t R’ye yaklaşıyorsa t gerçel sayısına x, xo’a yaklaşırken f(x) fonksiyonunun limiti denir ve lim f(x) = t
x xo
şeklinde gösterilir.
SAĞDAN VE SOLDAN LİMİT:
SAĞDAN LİMİT:
y = f(x) fonksiyonunda x, xo R değerine sağ taraftan yaklaşırken f de bir t1 R değerine yaklaşıyorsa t1’e fonksiyonun sağdan limiti denir ve lim f(x) = t1 biçiminde
x x+o
gösterilir.
SOLDAN LİMİT:
y = f(x) fonksiyonunda x, xo R değerine sol taraftan yaklaşırken f de bir t2 R değerine yaklaşıyorsa t2 ye fonksiyonun soldan limiti denir ve lim f(x) = t2
x x-o
ÖRNEK:
x2 + 1, x 0 ise,
x + 1 , x < 0 ise,
fonksiyonun x = 0 noktasında limiti nedir?
ÇÖZÜM:
lim f(x) = lim (x2 + 2) = 02 + 1 = 1
x 0+ x 0+
lim f(x) = lim (x + 1) = 0 + 1 = 1
x 0- x 0-
O halde lim f(x) = 1 dir.
x 0
4 – Trigonometrik Fonksiyonların Türevi Konu Özeti——————————————————————————–
A)
1) f (x) = Sinx f’(x)=Cosx
2) f (x) = Cosx f’(x) = – Sinx
3) f (x) = tanx f’(x) = 1 + tan2x
4) f (x) = Cotx f’(x) = – (1 + Cot2x)
ÖRNEKLER:
1. f (x) = Secx f’(x) = ?
ÇÖZÜM:
2. f (x) = Cosec f’(x) =?
ÇÖZÜM:
B.
1) f (x) = Sin[u[x]] f’(x) = u’(x) . Cos[u(x)]
2) f (x) = Cos [u(x)] f’(x) = – u’(x) . Sin [u(x)]
3) f (x) = tan [u(x)] f’(x) = u’(x) [1 + tan2u(x)]
4. f (x) = Cot[u(x)] f’(x) = -u’(x) [1 + Cot2u(x)]
ÖRNEKLER:
1. f (x) = Sin3x f’(x) = 3Cos3x
2. f (x) = tan(x2 – 1) f’(x) = ?
ÇÖZÜM:
f’(x) = (x2 –1)’ . [1 + tan2(x2 – 1)]
f’(x) = 2x [1 + tan2 (x2 – 1)]
3. f (x) = Sin (tan x) fonksiyonunun türevi nedir?
ÇÖZÜM:
f’(x) = Cos (tanx) . (tanx)
4. f (x) = 2Sin3 x + 3Cos2x f’(x) = ?
ÇÖZÜM:
f’(x) = 2.3.Sin2x . (Sin x)’ + 3.2 Cosx . (Cosx)’
f’(x) = 6Sin2x . Cosx + 6 Cosx . ( – Sin x)
Cevaplar
1.C
2.C
3.B
4.D
5.D
6.E
7.B
8.C
9.C
10.C
11.D
12.A
13.A
14.B
15.D
16.C
17.C
18.B
19.
20.A
21.C
22.B
23.E
24.A
25.E
26.C
CEVAPLAR
